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2025-03-03-java 学习

运行结果

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参考博客
立方公式 及 完全立方公式-CSDN 博客

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基础任务

由自然数前 n 项立方和公式:

我们可以得到对于公式 1:只需验证

$$
(\frac{56}{2})^2 -(\frac{23}{2})^2 = 6^3
$$

对于公式 2:只需验证

$$
(\frac{6970}{2})^2 -(\frac{56}{2})^2 = 180^3
$$

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // 验证基本等式
        System._out_.println("验证基本等式...\n");
        _verifyBasicEquations_();

        // 附加任务
        System._out_.println("寻找更多的满足条件的整数序列...");
        _findMoreSequences_();
    }

    // 验证基本等式
    private static void verifyBasicEquations() {
        // 使用自然数立方和公式验证
        // 公式：1^3 + 2^3 + ... + n^3 = [n(n+1)/2]^2
      
        // 验证公式1: 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3
        // 等价于 (5*6/2)^2 - (2*3/2)^2 = 6^3
        double leftSide1 = Math._pow_(5 * 6.0 / 2, 2) - Math._pow_(2 * 3.0 / 2, 2);
        double rightSide1 = Math._pow_(6, 3);
        if (Math._abs_(leftSide1 - rightSide1) < 1e-10) {
            System._out_.println("公式1:3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 成立");
            System._out_.printf("左边 = %.2f, 右边 = %.2f\n", leftSide1, rightSide1);
        } else {
            System._out_.println("公式1:3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 不成立");
        }

        // 验证公式2: 6^3 + 7^3 + ... + 69^3 = 180^3
        // 等价于 (69*70/2)^2 - (5*6/2)^2 = 180^3
        double leftSide2 = Math._pow_(69 * 70.0 / 2, 2) - Math._pow_(5 * 6.0 / 2, 2);
        double rightSide2 = Math._pow_(180, 3);
        if (Math._abs_(leftSide2 - rightSide2) < 1e-10) {
            System._out_.println("\n公式2:6^3 + 7^3 + ... + 69^3 = 180^3 成立");
            System._out_.printf("左边 = %.2f, 右边 = %.2f\n", leftSide2, rightSide2);
        } else {
            System._out_.println("\n公式2:6^3 + 7^3 + ... + 69^3 = 180^3 不成立");
        }
    }
}

附加任务

我的思路是用两个嵌套循环,暴力搜索满足要求的整数序列,使用立方和公式化简来直接计算区间和，避免了循环计算每个数的立方：
对于区间[start, end]，使用
代码避免了大量的立方计算，运行速度会比直接使用立方和 + 暴力搜索快。如果想要搜索更大范围的数，只需要修改循环中的上限（1000）即可。

private static void findMoreSequences() {
    System._out_.println("找到的满足条件的整数序列：");
    for (int start = 1; start < 100; start++) {
        for (int end = start; end < 100; end++) {  
            // 使用立方和公式计算区间[start, end]的立方和
            double sum = Math._pow_(end * (end + 1.0) / 2, 2) - 
                       Math._pow_((start - 1) * start / 2.0, 2);
          
            // 计算立方根
            double cubeRoot = Math._cbrt_(sum);
            // 检查是否为整数
            if (Math._abs_(cubeRoot - Math._round_(cubeRoot)) < 1e-10) {
                int cubeRootInt = (int) Math._round_(cubeRoot);
                // 验证这个序列是否真的满足条件
                double verification = Math._pow_(cubeRootInt, 3);
                if (Math._abs_(verification - sum) < 1e-10) {
                    // 只输出有意义的序列（立方根大于序列中的所有数）
                    if (cubeRootInt > end) {
                        System._out_.printf("%d^3 + %d^3 + ... + %d^3 = %d^3\n", 
                            start, start + 1, end, cubeRootInt);
                    }
                }
            }
        }
    }
}