欧拉公式证明
从连通平面图到简单多面体（通俗版）
几何学中的欧拉公式
是计算机图形学和拓扑学里非常常用的结果。但这里我们不走很“硬核”的拓扑路线，而是用一个比较直观的“删边归约”思路来证明，并说明它为什么能自然推广到简单多面体。
1. 记号与约定
：顶点（vertex）数量 ：边（edge）数量 ：面（face）数量
本文统一约定：
- 平面图指可无交叉嵌入平面的图。
- 面数
只数内部面，不计无限外部区域（这样更方便和多面体对应）。 - 所讨论的图均为连通图。
2. 从多面体到平面图
命题 1
任意简单多面体（连通、无自交、无洞）满足：
关键观察（很直观）
从一个简单多面体去掉一个面，相当于在平面上“摊开”得到一个连通平面图。此时：
不变 不变 变成
所以只要证明下面这个结论就够了：
命题 2
任意连通平面图满足
如果命题 2 成立，则：
3. 连通平面图的证明（删边不变量）
3.1 基本情形：树
树是连通且没有回路的图。树有两个简单事实：
- 因为没有回路，所以围不成面，
因此：
3.2 一般情形：含回路的连通平面图
如果图里有回路，我们可以挑一条非桥边删掉。
非桥边的直观理解：
删掉它，图仍然连通（说明它只是“绕圈”的一部分，不是唯一通路）。
引理
删掉一条非桥边会发生：
不变 减 1 减 1
为什么？
这条边一定夹在两个相邻面之间，删掉它后这两个面合并成一个，所以面数减 1，而图仍连通。
于是：
也就是说，**删非桥边不改变
3.3 归约到树
不断删非桥边，最终一定会变成一棵树。
因为整个过程中
4. 回到多面体
从第 2 节的“去掉一个面”可知：
证毕。
5. 讨论与小结
- 本证明核心依赖连通性。如果图不连通，公式需要调整。
- 对带“洞”的多面体（拓扑亏格
），欧拉公式推广为：
- 在图形学里，这个公式常用于检查网格拓扑是否自洽，也用于理解 Euler 操作的正确性。
总体上，这个证明给出的直觉是：
在连通平面图中，可以在保持图连通的前提下不断删除回路上的非桥边。
每删除一条此类边，边数减少 1，同时由于两个相邻面合并，面数亦减少 1,””。
因此，在该操作下量保持不变。
通过重复该过程，图最终可归约为一棵最小生成树，而在整个过程中始终保持不变。
